
Выходец из Чечни, чей отец зарабатывал миллиарды рублей на госзаказах.
Родился в Гудермесе. В 2002 году начал преподавать в Грозненском государственном нефтяном институте. Тогда же Музаев возглавлял отдел патриотического воспитания молодежи в Комитете правительства Чечни по делам молодежи, после чего работал заместителем председателя комитета Чечни по делам молодежи.
В 2006 году по представлению Рамзана Кадырова, который тогда был премьером республики, стал ректором крупнейшего вуза Чечни — Чеченского государственного университета (ЧГУ). Кадыров, будучи президентом республики, назначил Музаева министром образования и науки Чечни. На этой должности Музаев отработал пять лет, после чего отправился в Москву строить федеральную карьеру.
В 2013 году был назначен на должность заместителя руководителя компании Рособрнадзор. На этом поприще чиновник рассказывал о планах войти в десятку стран с лучшими показателями в оценке качества образования и отменить пятибалльную систему оценки в школах. В «ковидном» 2020 году он сменил ушедшего на повышение Сергея Кравцова, ставшего министром просвещения. За годы управления Музаевым службой в России отменили проверочные работы по иностранным языкам, зато появился ЕГЭ по арабскому. Музаев и Рособрнадзор активно участвуют в пропаганде среди школьников: в 2022 году
чиновник рассказывал, что после «Крымской весны» в ЕГЭ по истории увеличили количество заданий о Великой Отечественной войне и «ряде великих побед России», а уже после начала полномасштабного вторжения России в Украину Музаев отчитывался о расширении числа вопросов по «СВО».

В 2011 году, когда Анзор еще работал в Чечне, его отец Ахмед Музаев стал единственным владельцем компании ООО «Спецдорстрой»
, которая занималась дорожными работами. До ликвидации в 2022 году компания получала госконтракты на миллиарды рублей, в том числе на восстановление улицы Индустриальной в Грозном, которую приезжал инспектировать Рамзан Кадыров.
До Музаева владельцами «Спецдорстроя» были отец и сын Абубакар и Усман Тумхаджиевы, которые, вероятно, и помогали выбивать госконтракты: Усман Тумхаджиев работал председателем комитета правительства Чечни по госзаказам, а Абубакар Тумхаджиев — министром автомобильных дорог республики.